数学についてのノート

青チャートで数学を勉強しているときのメモを書いていく。

勉強の進め方などもメモを書いていく。

数学の進め方

青チャートを章ごとに３周して次の章に進む。

基本問題だけを進める。

整式とは

整式についての説明を読んでも理解できないのでネットで記事を読んだ。

こちらの記事もわかりやすかったので参照する。

単項式、多項式のどちらも、整式と呼ぶ。

単項式：
数、文字、またはそれらを掛け合わせてできる式のこと。

多項式：
何個かの単項式の和として表される式のこと。

整式の整理で注意すること

“xとy”について整理すると書かれていたら、単項式に少なくとも1つxかyが含まれていたら対象となる。
“xとy”についての意味を解釈間違えて、xyについて整理すると勘違いをいつもするので注意する。

実数とは

実数はどれが実数だと覚えようとすると混乱しやすくめんどくさいので、虚数以外はすべて実数と考える。高校数学ではそれで問題ないみたい。
有理数とは、実数のうち、整数か分数で表せる数のこと。有理数という名前からどんな数なのかイメージしづらいので覚えておく。

自然数とは

自然数とは、正の整数。0は自然数ではないことに注意。1,2,3…

素数とは

素数とは、約数に１と自身以外の約数をもたない、正の整数のこと。素数のことを見るたびにどんな数だったか忘れるので、しっかりと覚えておく。
素数の定義通り、1は素数ではないので注意。2,3,5,7,11,…などがある。

2は1x2=2, 3は1x3=3,5は1x5=5のように、約数が1と自分自身となっていることが特徴。

０は有理数?

青チャート数学1Aで有理数と無理数の関係で背理法を使う問題を勉強していて、

0は有理数なのかわからなかったので調べたら0も有理数とのこと。

有理数なのでm/nで表せ(n≠0が前提)。m=0のとき有理数m/nは0となるので0も有理数。

平方根

2乗するとaになる数をaの平方根と呼ぶ。とてもわかりにくい。
bを2乗するとaになる。$\sqrt{7}$を2乗すると、7になる。なので、$b=\sqrt{7}$で、a=7。

なので、2乗すると7になる数を7の平方根と呼ぶ。なので、7の平方根は$\sqrt{7}$

$-\sqrt{7}$も2乗したら7になるので、7の平方根は$\sqrt{7}$と$-\sqrt{7}$

$(\sqrt{7})^2 = 7$

$(-\sqrt{7})^2 = 7$

記号での例：
a > 0, b < 0のとき、$\sqrt{a^2b^2} = \sqrt{(ab)^2} = |ab| = -ab$

上記の理解が難しい。
$a \geqq 0$のとき、$\sqrt{a^2} = a$,
$a < 0$のとき、 $\sqrt{a^2} = -a$

となる。$a < 0$のとき、 $sqrt{a^2} = -a$となるのは、下記のように絶対値で考えると理解できる。

絶対値は必ず0以上なのに、$|ab|$がなんで-abになるかというのが、勘違いしやすい。bには絶対値記号の中で負の記号がついていないけど、
そもそも前提としてb<0だから、絶対値記号の中では-bと書いていないけど、実際は-bである。
なので、絶対値の記号を外してできる絶対値は必ず正の数にするので、負の記号を付けて絶対値記号を外している。
そのため、$|ab| = -ab$となる。これが一見すると、絶対値なのに負の数に見えて矛盾しているように見えてしまうので勘違いしやすいが、
$-ab$は文字通りに見てしまうと、負の数に見えてしまうが正の値である。

絶対値

絶対値はいつもわけがわからなくなってしまい理解しにくい。絶対値は、必ず0以上で、負の数にはならないという定義であることをしっかり覚えておく。

$|8| = 8$という意味:
左辺は、まず絶対値記号の中身に着目する。絶対値記号の中の数値は8。8>0なので、絶対値はそのまま8となる。

a < 0 のとき、$

= -a$のように、絶対値記号を外すときに負の値にマイナスをつけることでプラスにして絶対値記号を外す。

二重根号の外し方

a>0,b>0のとき、

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})$を2乗すると、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}$

平方をとると、$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$

よって、右辺においてa+bが左辺のa,abが左辺のbを満たすa,bがみつかれば、左辺のように2重根号が外れた形に
できる。

a>0,b>0じゃないと右辺、左辺が成り立たないからa>0,b>0

a>b>0のとき、

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})$を2乗すると、$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a+b-2\sqrt{ab}$

平方をとると、$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$

よって、右辺においてa+bが左辺のa,abが左辺のbを満たすa,bがみつかれば、左辺のように2重根号が外れた形に
できる。

注意：
解答は$(\sqrt{a}-\sqrt{b})$の形となるけど、値の大きい方を前にもってくること。
そうしないと、左辺$(\sqrt{a}-\sqrt{b})$が負の値になってしまうが、右辺は平方根なので実数の範囲では正の値を取るのに、
負の平方根となり矛盾が生じるから。

一次不等式

方程式$

=c$の解は、$x=\pmc$

不等式$

<c$の解は、$-c<x<c$ //絶対値xの値はcより小さい。

不等式$

>c$の解は、$x<-c$,$c<x$ //絶対値xの値はcより大きい。

上記不等式の解は、計算して導きだせるけど、絶対値ｘとcの値との大小関係に着目したら直観的に理解できる。

1次不等式の苦手な問題

問題1：
$x<\frac{3a-2}{4}$を満たすxの最大の整数値が5のとき、aの値の範囲を求めyo。

右辺を抽象的にみてyと置き換えると、x<yという不等式を満たすxの最大の整数値が5ということ。
1.y=5のとき、x<yはx<5となり、xの最大の整数値が5とならない(xのとる最大の整数値は4となる)。そのため、yはy>5の値をとる必要がある。
2.y=6のとき、x<yはx<6となり、xの最大の整数値が5となる。
1と2から、yのとる値の範囲は、$5<y\leqq6$となる。

yを置き換えると、$5<\frac{3a-2}{4}\leqq6$となる。この不等式を満たすaの値の範囲を求める。

問題2：
kをk>2を満たす定数とする。ｘについての不等式$5-x\leqq4x<2x+k$の解を求めよう。また、この不等式を満たす整数xがちょうど5個存在する
ような定数kの値の範囲を求めよう。

まず、普通に連立不等式を解いて、共通範囲を求める。このとき、k>2であるから、$1 \leqq x<\frac{k}{2}$が解となる。

次に、上記の解で、5個整数が存在するのは、x=1,2,3,4,5の5個。

$1 \leqq x<\frac{k}{2}$の$\frac{k}{2}$がどんな数値だったら$1 \leqq x<\frac{k}{2}$の範囲にx=1,2,3,4,5の5個存在するか考えると、
$5<\frac{k}{2}\leqq6$であることが分かる。

$\frac{k}{2}=5$だとすると、$1 \leqq x<5$となり、x=1,2,3,4の4個となるので、満たさない。なので、5は等号を含めるのは誤りで、
5より大きい値じゃないといけない。
また、$\frac{k}{2}=6$だとすると、$1 \leqq x<6$となり、x=1,2,3,4,5となるので、6は等号を含む必要がある。
以上に注意が必要。

条件の合成と否定(命題の真偽のやつ)

でない、かつ、またはを使って作られる条件と集合について、頭が混乱しやすいのでメモ。
単なる文字の置き換えとかで覚えるよりも、具体的な意味をイメージしたほうが本質的で理解できるので、
暗記しようとしないように注意する。

全体集合をU、条件pを満たすx全体の集合をPとする。
P=Uのとき、命題”すべてのxについてpである”は真。これは理解しやすい。

$P\neq\emptyset$のとき、命題”あるxについてpである”は真。
→x全体の集合Pが空集合ではない、つまりxが存在するとき、あるxについてpである。という意味。

否定

命題 “すべてのxについてpである” の否定は、”あるxについて$\overline{p}$である”

上記を、言葉をただ単に、すべてのx→あるx みたいに機械的に変えるのではなく、意味を考える。
すべてのxについて条件pを満たすことの否定を考える。

すると、全部のxが条件pを満たさないと考えるのが自然。しかし、命題が否定に変わる
最小限の条件を考える。すると、命題は、xの全部じゃなくて、xが1つでも条件pを満たさなければ、命題は否定に
変わることが分かる。なので、あるxについてpでない。ことが命題の否定となる。

命題 “あるxについてpである” の否定は、”すべてのxについて$\overline{p}$である”

あるxについてだけ条件pを満たすことの否定は、”あるxについても条件pを満たさない”
と考えられる。言い換えると、すべてのxについて条件pを満たさない、つまり、
“すべてのxについて条件pではない” → “すべてのxについて$\overline{p}$である”
と言い換えられる。

集合で考えた命題の否定：

命題の否定を集合を使って考えると、P=Uの否定は$P \neq U$で、これは集合Pのすべての要素xがUに含まれる
わけではないということ。つまり、あるxについてはPではない。
これは、全体集合Uの中で、$\overline{P}$の要素が存在する、言い換えると、$\overline{P}$が空集合ではない。
と言い換えられる。つまり、$\overline{P}\neq\emptyset$と表現できる。

また、上記のP=Uは、命題で表現すると、”すべてのxについてp” と言い換えられ、
$\overline{P}\neq\emptyset$は、全体集合Uに含まれる要素xについて、”あるxについてはpではない”
と言い換えられる。つまり、”すべてのxについてp”の否定は、”あるxについては$\overline{p}$”となる。

$P \neq \emptyset$の否定は、$P \neq \emptyset$
これは、”Pが空集合ではない”の否定なので、”Pが空集合”
Pが空集合なので、言い換えると、”Pではない集合は全体集合U”と同じ意味。
よって、$\overline{P}=U$と表現できる。

これにより、$P \neq \emptyset$を命題に対応させると、”Pが空集合ではない”ということは、少なくともあるxについては、
条件pを満たすと考えられるので、”あるxについてp” と表現できる。

$\overline{P}=U$を命題に対応させると、”Pではない要素がU”ということは、”Pのすべての要素xがUではない”ということなので、
“すべてのxについて$\overline{p}$”と表現できる。

そのため、”あるxについてp” の否定は “すべてのxについて$\overline{p}$”となる。

必要条件と十分条件

表面的に覚えようとして忘れやすいので、なぜ必要条件、十分条件と呼ぶのかを理解しておく必要がある。

p⇒qが真のとき、qはpであるための必要条件、pはqであるための十分条件。

言い方として、”pはqであるための十分条件”、または、”pはqの十分条件” などと表現する。
この表現方法がかなりわかりにくい。”pは”と書いてあるので、pが主語で、pのことを言っているかのように普通は解釈するけど、
実は、”pはqであるための”は、qであるために、pはどんな条件かを言っている。意味を塊で捉えないといけない。

主語と述語を、主語：”pは” 述語：”qであるための十分条件”ととらえると、訳がわからなくなる。
主語と述語を、主語：”pはqであるための” 述語：”十分条件”と分けて、主語を塊として、塊の意味を理解しようとすると
理解しやすくなる。

上記から、qであるためにpは十分条件とは、つまり、qを満たす集合Qの要素にpの集合Pがすべて含まれているので、十分であるということ。

必要条件、十分条件の意味：
必要条件の意味は、比較対象の集合に対して条件を完全に満たしていなく、満たすためには要素が必要なことを意味している。
十分条件の意味は、比較対象の集合に対して条件を完全に満たしていて、満たすための要素が必要なく、十分であることを意味している。

条件p,qを満たすもの全体の集合をそれぞれP,Qとすると、

p⇒qが真 ⇔ $P \subset Q$ ⇔ pはqの十分条件、qはpの必要条件

この十分という単語は、曖昧さを含んでいるように思え、幅をもった意味に解釈してしまいがちなので、分かりにくさに
繋がっていると感じた。

qはpであるための必要条件とは、pにはqと同じ値になるだけの要素が不足していて、qの中のある要素がpに不足しているので
必要なことを意味している。

pはqであるための十分条件とは、qにはpと同じ値になるだけの要素を持っているので、pの要素はqにすべて含まれていて足りているので十分という意味。

pはqであるための十分条件と必要条件

$p \Rightarrow q$が真であるとき、”pはqであるための十分条件”であり、逆に、

$q \Rightarrow p$が真であるとき、”pはqであるための必要条件”である。

なぜ上記になるのかを集合で具体的に考えてみる。 p全体の集合をP、q全体の集合をQとすると、$p \Rightarrow q$が真のとき、$P \subset Q$なので、PはすべてQに含まれる。
そのため、PはQに対して不足する部分がない。そのため、pはqであるための十分条件となる。

$q \Rightarrow p$が真のとき、$Q \subset P$なので、QはすべてPに含まれる。

qが全てpに含まれているので、p目線でみると、pにとっては、qの要素をすべて含んでいて不足する部分がないので、
qはpにとって十分である(足りている)。そのため、qはpであるための十分条件。

“qはpであるための”という言葉の意味がほんとわかりにくいので、次のように言い換えるようにする。

“qはpであるための” -> “qはpにとって”

次に、反対のことを考えてみる。”pはqであるためのxx条件” この”xx”の部分に何が入るかを考える。

qの要素はpにすべてふくまれているけど、pのすべての要素がqに含まれているとは限らないので、
q目線で見ると、qにはpの要素のうち、不足している部分があるかもしれない。

そのため、pの要素は、qにとっては不足している要素があるかもしれないので、pはqにとって不足しているかもしれないので、
“pはqにとって必要条件である” つまり、”pはqであるための必要条件”

命題と証明

逆、裏、待遇というやつ。毎回覚えるけど、毎回忘れるので、とにかくいつも触れて、当たり前のようになって慣れるしかない。
そもそも対偶という単語の意味すらずっと知らず、今更だけど調べてみた。

対偶とは、2つ揃ったもの。対(つい)になっているもの。

命題 $p \Rightarrow q$に対し、$q \Rightarrow p$を逆という。

$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$を対偶という。
→命題に対し、逆にして、更に否定したものなので、逆と否定の2つが揃ったものなので、対偶と呼ぶ。

命題を否定したもの、$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$を裏という。

対偶の性質

命題の真偽とその対偶の真偽は一致する。という法則がある。これも忘れやすいので、慣れるようにする。

ある命題の真偽とその対偶の真偽が一致する理由

条件p,qを満たすもの全体の集合をそれぞれP、Qとすると、

$p \Rightarrow q$ が真 $\Leftrightarrow$ $P \subset Q$

$P \subset Q$にド・モルガンの法則を適用すると、$P \subset Q$ $\Leftrightarrow$ $\overline{Q} \subset \overline{P}$となり、

これは逆と裏を適用したものなので、対偶となる。$\overline{Q} \subset \overline{P}$より、$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$が真であることが
導き出される。よって、命題の真偽と対偶の真偽は一致する。

勘違いに注意がひつようなのが、真偽が一致するだけで、命題の$P \subset Q$と対偶の$\overline{Q} \subset \overline{P}$の詳細な要素などが等しいのではない。
上記のベン図を書いてみると全然違うものであることがわかる。

ある命題が偽のときはその対偶も偽となるが、このように命題と対偶が偽の場合には、偽の根拠となる反例の集合が命題と対偶で同じとなる性質がある。

上記のように、性質として覚えておく。

逆や裏の性質

$P \Rightarrow Q$であっても、$Q \Rightarrow P$とは限らない。そのため、命題の真偽とその逆、裏の真偽は必ずしも一致するとは限らない。

ある命題の逆の真偽と裏の真偽は一致する

ある命題の裏は逆の対偶であるから、逆と裏の真偽は一致する。→イメージすら浮かばず。難しすぎるので、イメージする。

$p \Rightarrow q$の裏は、否定のことなので、$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$

裏である$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$の対偶は、$q \Rightarrow p$であり、これは、もともとの命題$p \Rightarrow q$の逆である。

上記から、ある命題の裏と逆は対偶の関係なので、ある命題の逆の真偽と、ある命題の裏の真偽は一致する。

背理法

ある命題hogeに対し、hogeが成り立たないと仮定して、矛盾を導くことによって、hogeが成り立つことを証明する証明方法を、背理法という。

hogeが成り立たないと仮定して検証する。検証した結果、hogeは成り立ってしまうので、hogeが成り立たないという仮定が間違っていることが分かり、
結果としてhogeは成り立つということになり、hogeが成り立つことが証明される。回りくどく感じるが、背理法を使うことで命題をときやすくなること
がある。背理法は、命題を証明するための道具みたいなもの。

直接証明法と間接証明法

命題を証明するために、仮定から順に正しい推論を進め、結論を導く証明方法を直接証明法と呼ぶ。
背理法や対偶を利用して、間接的に結論を導く証明法を間接証明法と呼ぶ。

対偶を使って命題が成り立つことを証明する問題

問題：整数nの平方が3の倍数ならば、nは3の倍数であることを証明せよ。

命題が正しいことを直接証明しようとすると、成り立つパターンが無限にありそれを証明しないといけない。また、反例が1つもないことを証明することが難しい。
なので、命題の対偶が真で成り立つことを証明することを考える。対偶が真であることが証明できると、命題も真で成り立つことが間接的に証明できる。

対偶で命題を表現すると、”nが3の倍数でないならば、整数nの平方($n^2$)が3の倍数ではない”となる。

この問題を解くためには、ある数の倍数をもとにして全ての整数を表現する方法を知っておく必要がある。この方法を知らなかったので、解けなかった。
整数nが3の倍数のとき、3の倍数はkを整数とすると、n=3kと表現できることは分かるけど、3の倍数以外の全ての整数を表現する方法を知らなかった。

**3の倍数を3kと表現するとき、全ての整数は3k+1,3k+2で表現できる。

例えば、k=0のとき 3x0=0, 3x0+1=1, 3x0+2=2
となり、3k, 3k+1, 3k+2によって整数0,1,2を表現できる。kを任意の整数にすると、同様にして全ての整数が表現される。
これは、ある整数を3の倍数を基準に考えると、3で割った余りが0、3で割った余りが1、3で割った余りが2の3パターンで
整数を表現できることを示している。

2の倍数のときは、2k, 2k+1ですべての整数を表せる。
4の倍数のときは、4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3ですべての整数を表せる。
といった感じに、基準とする倍数で割ったときの余りのパターンですべての整数が表せる。

解答：

与えられた命題の対偶は、”nが3の倍数でないならば、$n^2$は3の倍数ではない” である。

nが3の倍数でないとき、kを整数として、n=3k+1 または n=3k+2 と表される。

1.n=3k+1のとき

$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2+6k+1 = 3(3k^2+2k)+1$
$3k^2+2k$は整数であるから、$n^2$は3の倍数ではない。

2.n=3k+2のとき

$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2+12k+4 = 3(3k^2+4k+1)+1$
$3k^2+4k+1$は整数であるから、$n^2$は3の倍数ではない。

1,2から対偶が真。従って、与えられた命題も真。

背理法を利用して解く問題

$\sqrt{7}$は無理数であることを証明せよ。  
nを自然数とするとき、$n^2$が7の倍数ならば、nは7の倍数であることを利用してもよい。

無理数であることを直接証明するよりも、有理数であると仮定して矛盾を導く方が簡単そうなので、背理法を利用する。
$\sqrt{7}$が有理数であると仮定して矛盾を導く。

今回うろ覚えだった、問題解くうえで前提として知っておかないといけないこと。

2つの自然数a, bがお互いに1以外の公約数を持たないとき、aとbはお互いに素であると呼ぶ。
そして、このとき、$\frac{a}{b}$は既約分数である。
有理数は、上記の$\frac{a}{b}$で表される。

解答：
$\sqrt{7}$を有理数と仮定すると、1以外に正の公約数を持たない自然数a, bを用いて、$\sqrt{7} = \frac{a}{b}$と表される。

このとき、$a = \sqrt{7}b$
両辺を2乗すると、$a^2 = 7b^2 ・・・①

$a^2$は7の倍数であるから、aも7の倍数である。なので、cを自然数として、a=7cと表される。

この両辺を2乗すると、$a^2 = 49c^2$ ・・・②

①、②から、$7b^2 = 49c^2$ すなわち$b^2 = 7c^2$
よって、$b^2$は7の倍数であるから、bも7の倍数である。

なので、aとbはともに7の倍数なので、公約数7を持つ。
これは、aとbがお互いに1以外の公約数を持たないことに矛盾する。

したがって、$\sqrt{7}$は無理数である。

上記の背理法による証明は、$\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$などが無理数であることの証明にも使える。
$n^2$がk(k=2,3,5)の倍数のとき、nもkの倍数であることを利用する。

2次関数

公式の意味が分からなかったのでメモ。
2次関数のグラフの$y=ax^2$のグラフのx,yをx軸方向にp、y軸方向にq平行移動したグラフの座標は、(x,y)が(x+p, y+q)となり、
平行移動したグラフの関数はx-p,y-qしたものを元のグラフの関数に代入したものとなり、プラス方向に平行移動したのにマイナスしたものを代入しているので、
もやもやしてスッキリしない。

具体的には、x軸方向にp、y軸方向にq移動したグラフは$y-q=a(x-p)^2$となる。
平行移動する前の2次関数のグラフy=f(x)を平行移動したy=g(x)というグラフは、p,qという移動量の情報だけでは、この時点ではグラフの2次関数はどんなものかが分からない。

そのため、2次関数のグラフの$y=ax^2$のグラフのx,yをx軸方向にp、y軸方向にq平行移動したグラフの点(x, y)を、元のグラフ$y=ax^2$上の点に対応させて表現している。
そうすることで、具体的にわからないy=g(x)上の、$y=ax^2$のグラフのx,yをx軸方向にp、y軸方向にq平行移動した(x,y)という点を$y=ax^2$のグラフ上の値に対応させて
相対的に平行移動後のグラフの関数を表現している。

p=4,q=0のように、x軸方向だけへの平行移動で考えると分かりやすい。

nijikannsuu

要は、y=g(x)上の点xの時のyの値を、元のグラフであるy=f(x)のグラフ上の点で表すと、x-pだけ元に戻ったときのy=f(x)のyの値と同じなので、
平行移動後のグラフy=g(x)をy=f(x)で表現している。